¿Sabías que el movimiento planetario es más caótico de lo que imaginas?

El universo parece ordenado, pero el caos es la fuerza oculta que gobierna el movimiento de los planetas y nuestras vidas.

Durante siglos, la humanidad ha contemplado el movimiento de los planetas con asombro, creyendo que estos cuerpos celestes se movían con una precisión casi perfecta. El sol sale cada día, las estrellas aparecen en el mismo lugar del cielo, y las mareas suben y bajan como un reloj. Sin embargo, la realidad es mucho más intrigante y, en muchos aspectos, caótica.

El caos, en términos científicos, no es sinónimo de desorden total, sino una condición en la que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden producir resultados completamente diferentes. Este concepto revolucionó nuestra comprensión del universo, especialmente cuando se descubrió que el comportamiento de los planetas no es tan predecible como se creía. A finales del siglo XIX, el matemático Henri Poincaré demostró que cuando más de dos cuerpos celestes interactúan bajo la influencia de la gravedad, como es el caso del sistema solar, su movimiento se vuelve increíblemente complejo y, en última instancia, impredecible.

Esto significa que, aunque podemos calcular con precisión el movimiento de la Tierra y otros planetas a corto plazo, a largo plazo las órbitas pueden volverse caóticas, lo que implica que cualquier intento de predecir su posición futura es una tarea monumentalmente difícil. Este descubrimiento llevó al desarrollo de la teoría del caos, un campo que abarca fenómenos desde el movimiento planetario hasta el clima en la Tierra.

Aunque los planetas siguen trayectorias elípticas, estas elipses están sujetas a ligeras variaciones que, con el tiempo, pueden convertirse en desviaciones significativas. Estas desviaciones pueden ser imperceptibles durante nuestras vidas, pero a lo largo de millones de años, pueden provocar alteraciones drásticas en las órbitas, un proceso que, aunque improbable, no es imposible.

En exclusiva para nuestros lectores, ofrecemos un extracto del primer capítulo de La ciencia de la incertidumbre, una obra de Tim Palmer publicada por Pinolia, que explora cómo la incertidumbre juega un papel fundamental en la predicción de sistemas complejos. Tim Palmer nos lleva desde la física cuántica hasta el cambio climático, demostrando cómo la duda puede ser la clave para entender el universo y sus misterios.

Caos, caos por todas partes

Seguro que todos nosotros solemos describir nuestra vida como caótica, desordenada y confusa. De igual manera, la ciencia del caos describe sistemas cuyo comportamiento es tan impredecible que asemejan desordenados y confusos. Resulta extraño, por tanto, que la ciencia del caos se desarrollara al principio al estudiar lo que la mayoría de nosotros creemos que es el epítome del orden y la previsibilidad: el movimiento de los planetas. Damos por sentado que el sol saldrá por el este, no solo mañana, sino todos los días del resto de nuestras vidas. Y como podemos predecir con gran precisión el movimiento de la Tierra en torno al Sol y el de la Luna en torno a la Tierra, sabemos con certeza la hora de la marea alta y la fecha de un eclipse, no solo con días de antelación, sino para el resto de nuestras vidas.

Sin embargo, el movimiento de los planetas del sistema solar es en realidad profundamente imprevisible y, por tanto, incierto.

La historia comienza con el renacimiento de la ciencia, una serie de acontecimientos que marcan el surgimiento de la ciencia moderna. El renacimiento se inició con la obra De Revolutionibus Orbium Coelestium, de Nicolás Copérnico, publicada en 1543, y se completó con la publicación de Principia Mathematica, de Isaac Newton, en 1687.

En su libro, Newton utiliza sus famosas tres leyes del movimiento, junto con su ley de la gravedad, para deducir la fórmula empírica descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler: que el movimiento de un planeta alrededor del sol es una elipse con el sol en un foco. Para hacer esta predicción, Newton ignoró las complicaciones del sistema solar real y supuso que solo estaba formado por dos cuerpos gravitatorios: el Sol y el planeta en cuestión.

No hay nada aleatorio o indeterminado en las leyes de Newton. Si conocemos la posición y la velocidad de un planeta en este momento y conocemos las fuerzas que actúan sobre él en el futuro, podemos calcular la posición y la velocidad del planeta en todo momento en el futuro. Los que estudiamos ciencias en el instituto recordamos los tediosos deberes en los que había que calcular la distancia exacta que recorrería un proyectil lanzado con una velocidad inicial y un ángulo de elevación dados. Este cálculo es un ejemplo de cómo el futuro parece estar determinado por la aplicación de las leyes de Newton a un conjunto dado de condiciones iniciales. Por eso se dice que las leyes de Newton son deterministas. En 1814, el filósofo y matemático francés Simon Laplace escribió sobre un hipotético demonio que podría explotar el determinismo newtoniano para predecir el futuro a la perfección. Laplace dijo:

«Un intelecto que en un momento dado conociera todas las fuerzas que ponen en movimiento la naturaleza y todas las posiciones de todos los elementos de los que se compone la naturaleza; si este intelecto fuera también lo suficientemente vasto como para someter estos datos a análisis, abarcaría en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del universo, hasta el más diminuto átomo más; para un intelecto así, nada sería incierto y el futuro, al igual que el pasado, estaría presente ante sus ojos». Esta referencia a «una fórmula única» es pertinente en este caso, porque Laplace fue uno de los muchos científicos que, desde Newton en adelante, se esforzaron por generalizar la fórmula de la elipse3 para describir las órbitas de un hipotético sistema solar con tres o más cuerpos ligados gravitatoriamente, por ejemplo, el Sol, la Tierra y la Luna, o el Sol, la Tierra, la Luna y Júpiter. Si uno introdujera la hora en la fórmula, esta proporcionaría las posiciones de los planetas en ese momento.

El problema pasó a conocerse como el problema gravitatorio de n-cuerpos. Newton había resuelto el problema para dos cuerpos (el Sol y la Tierra, por ejemplo) y trataba de encontrar la fórmula para n = 3 o más. Sin embargo, Laplace y sus contemporáneos fracasaron en el intento. Encontrar la fórmula se convirtió en una causa célebre y, para celebrar su sexagésimo cumpleaños, el Rey Oscar II de Suecia ofreció un premio a quien la encontrara.

El problema fue resuelto finalmente a finales del siglo XIX por el físico y matemático francés Henri Poincaré, el primo del presidente francés Raymond Poincaré. La solución de Poincaré tomó por sorpresa a la comunidad científica. Mientras que todos los gigantes anteriores de las matemáticas habían supuesto desde el principio que tal fórmula existía, Poincaré demostró que cuando n = 3 o más, no puede existir fórmula alguna.

¿Qué significa que no existe ninguna fórmula? Utilizando un ordenador portátil, que por supuesto no existía en la época de Poincaré, podemos resolver las leyes de Newton para trazar las órbitas de los tres cuerpos en la pantalla del portátil, por ejemplo, a lo largo de un millón de años terrestres de tiempo simulado. En principio, nosotros —o mejor, tal vez un sistema de inteligencia artificial (IA)— podríamos encontrar una única fórmula matemática, más complicada que la de una elipse, que describiera estas órbitas con gran precisión.

Sin embargo, si ampliamos la solución informática a dos millones de años terrestres, nos daremos cuenta de que nuestra fórmula no describe las órbitas a lo largo del segundo millón de años. Tal vez nuestro sistema de inteligencia artificial pueda encontrar una fórmula aún más complicada que describa las órbitas de los tres cuerpos a lo largo de dos millones de años. Sin embargo, esta fórmula volverá a fallar si la simulación se amplía a tres millones de años. De hecho, no importa lo compleja que sea la fórmula que construyamos para describir el movimiento de los tres cuerpos a lo largo de un periodo de tiempo finito, la fórmula acabará fallando si el movimiento se amplía a periodos de tiempo más largos. No existe ninguna fórmula que pueda describir las órbitas de estos cuerpos en periodos de tiempo arbitrariamente largos. Esto es lo que descubrió Poincaré.

Una consecuencia de esto es que las órbitas de los tres cuerpos nunca se repiten; si se repitieran, entonces existiría una fórmula para las órbitas que se aplicaría durante periodos de tiempo arbitrariamente largos. Solemos decir que las órbitas de los tres cuerpos no son periódicas. Poincaré se dio cuenta de que esto significaba que el movimiento de los planetas en el sistema solar es, en última instancia, impredecible, una propiedad compartida con el clima. Al estudiar el movimiento planetario, Poincaré descubrió un fenómeno que hoy llamamos «caos». Debido al caos, no existe ninguna fórmula que el demonio de Laplace pueda utilizar para ver arbitrariamente el futuro.

Podemos hacernos una idea de este caos planetario observando instantáneas de una animación por ordenador para n = 4 cuerpos gravitatorios. Este ejemplo se ha creado para ilustrar de forma explícita y dramática lo que Poincaré entendía que podía suceder a partir de su análisis matemático. Durante un periodo de tiempo limitado, las órbitas de estos cuatro cuerpos se asemejan a elipses y, basándose en los datos de este periodo limitado, un sistema de IA probablemente concluiría que el movimiento continuaría indefinidamente en estas órbitas casi elípticas. Sin embargo, de repente y sin previo aviso, los planetas deciden girar en espiral hasta el infinito. La sencilla fórmula que describe las órbitas de los cuatro cuerpos en el primer periodo falla por completo en el segundo.

¿Podría la Tierra ser expulsada alguna vez del sistema solar de esta manera? Si eso ocurriera, el calentamiento global, las crisis financieras y todo lo demás que se expone en este libro se convertirían en meras minucias. ¿Cómo podríamos averiguarlo? La respuesta es crear un modelo informático del sistema solar y llevarlo al futuro.

Pero, ¿se puede confiar en nuestro modelo informático para predecir un acontecimiento así? Tal vez, como el pronóstico del tiempo de Michael Fish, el modelo nos diga que no nos preocupemos. Tal vez el modelo prediga que la Tierra simulada seguirá orbitando de forma periódica alrededor del Sol, para que dentro de cinco años nos encontremos con que la Tierra real es expulsada de pronto del sistema solar.

La forma de abordar esta legítima preocupación es comprender las incertidumbres clave en la predicción de las futuras órbitas de los planetas. En este caso, la incertidumbre clave se refiere a la posición exacta de los planetas. Para hacer frente a esta incertidumbre, podemos ejecutar nuestro modelo cientos de veces con los planetas en posiciones iniciales ligeramente diferentes, en consonancia con esta incertidumbre. Este es un ejemplo de predicción de conjunto, un concepto que veremos muchas veces en este libro.

Podemos estar tranquilos. Los investigadores de la Universidad de Princeton han realizado un conjunto de este tipo,5 y en ninguno de los miembros del conjunto la Tierra es expulsada del sistema solar en los próximos miles de millones de años. Así que podemos asignar a este posible acontecimiento de crisis una probabilidad bastante cercana (pero, estrictamente hablando, no igual) a cero. El único acontecimiento de crisis destacable de estos conjuntos es que, en aproximadamente el 1 % de los miembros del conjunto, la órbita de Mercurio se vuelve lo suficientemente excéntrica como para colisionar con Venus dentro de miles de millones de años.

He aquí nuestro primer ejemplo de aplicación del método de predicción por conjuntos, que nos permite concluir que es extremadamente improbable que la Tierra sea expulsada del sistema solar. Sin embargo, estas predicciones de conjunto indican que la posibilidad de que la Tierra sea alcanzada por un asteroide menor, que podría destruir fácilmente una gran ciudad como Londres, no es tan lejana. Por eso vigilamos lo mejor que podemos las amenazas de tales asteroides.

Tras la muerte de Henri Poincaré, George Birkhoff, matemático de la Universidad de Harvard, se convirtió en el principal experto mundial en el problema gravitatorio de los n cuerpos. En la década de 1930, Birkhoff contrató a un brillante estudiante, Ed Lorenz, que estaba empezando sus estudios de posgrado, tras haber estudiado matemáticas en una universidad cercana de la Ivy League. El tema matemático en el que trabajaron Lorenz y Birkhoff no era el problema gravitatorio de los n cuerpos, sino la geometría de Riemann. Sin embargo, parece que parte del pensamiento de Birkhoff se le pegó al joven Lorenz, ya que, a principios de la década de 1960, Lorenz hizo uno de los mayores descubrimientos de la teoría del caos y, de hecho, de la ciencia en general. Lorenz descubrió la geometría fractal del caos.

Los planes de Lorenz de convertirse en matemático se vieron truncados por la Segunda Guerra Mundial, ya que tuvo que decidir cuál era la mejor forma de utilizar su talento matemático para el esfuerzo bélico. Como de niño le fascinaba el tiempo, Lorenz se apuntó a un curso de formación para meteorólogos y acabó trabajando en el Pacífico como meteorólogo operativo.

Tras la guerra, Lorenz tuvo la opción de continuar sus investigaciones matemáticas en Harvard. Sin embargo, su trabajo durante la guerra reavivó su interés por la meteorología, por lo que cambió de campo y trabajó durante su doctorado en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) en los nuevos modelos de predicción meteorológica basados en la física que empezaban a desarrollarse en los años inmediatamente posteriores a la guerra. Tras completar su doctorado en el MIT y una estancia postdoctoral en la Universidad de California, en 1956 Lorenz recibió una oferta de trabajo permanente en el MIT. Sus funciones incluían dirigir un grupo de investigadores que exploraban la posibilidad de predecir el tiempo con un mes o más de antelación.

En aquella época, poco se sabía sobre la predictibilidad del tiempo a más de uno o dos días vista. Algunos de los principales estadísticos de la época le dijeron a Lorenz que la predicción meteorológica a largo plazo era, en principio, un problema fácil de resolver. Supongamos que se quiere predecir el tiempo con un mes de antelación. Basta con ir a los archivos meteorológicos y encontrar un mapa del tiempo que se parezca lo suficiente al mapa del tiempo actual. La previsión para dentro de un mes sería simplemente el mapa meteorológico del archivo del mes siguiente a la fecha del mapa análogo.

Este método, sin embargo, no parecía funcionar en la práctica. Sin embargo, los expertos en estadística argumentaban que esto se debía simplemente a que los archivos no estaban lo suficientemente documentados y, por lo tanto, no contenían análogos lo suficientemente similares. Esperemos a que los archivos se llenen, decían, y entonces veremos que el método analógico podrá funcionar. Lorenz era escéptico al respecto. Para que la predicción analógica funcionara de este modo, argumentaba Lorenz, el tiempo tendría que ser periódico y repetirse una y otra vez, como en la película El día de la marmota. La intuición de Lorenz era que las ecuaciones meteorológicas no admitían ese comportamiento periódico. De hecho, esto es exactamente lo que Poincaré había demostrado en el caso del problema gravitatorio de los tres cuerpos.

Pero hay dos diferencias importantes entre el movimiento de los planetas y la evolución del clima. En primer lugar, a diferencia del sistema solar, con un número relativamente pequeño de planetas y lunas, la atmósfera es un fluido turbulento con billones y billones de remolinos y torbellinos de todos los tamaños. Si se hubiera preguntado a la mayoría de los expertos en meteorología de la época, estos, al igual que Lorenz, también se habrían mostrado escépticos ante la posibilidad de que la atmósfera se repitiera. Sin embargo, los expertos habrían dicho que esa no periodicidad se debía a que la atmósfera es un sistema a escala múltiple muy complejo, con numerosos remolinos que interactúan desde la escala planetaria hasta una micro escala. En otras palabras, la sabiduría convencional decía que la complejidad de la atmósfera era el origen de su imprevisibilidad. Cuanto más se simplificaran las ecuaciones meteorológicas, habrían conjeturado los expertos de la época, más producirían las ecuaciones meteorológicas simplificadas un comportamiento periódico y, por tanto, predecible.

Lorenz tuvo la idea de intentar utilizar los modelos informáticos de previsión meteorológica que había ayudado a desarrollar como estudiante de doctorado para demostrar su intuición de que el tiempo no se repetía. Sin embargo, el hecho mismo de que se tratara de modelos complejos planteaba un problema práctico. Se podía ejecutar un modelo durante cien años y llegar a la conclusión de que el tiempo simulado no se repetía. Sin embargo, quizá los años 101- 200 fueron repeticiones exactas8 de los años 1-100. ¿Quién sabe?

Al pensar en esto, Lorenz empezó a preguntarse si la no periodicidad podría encontrarse en unos sistemas simplificados que pudieran describirse con un número muy reducido de ecuaciones. ¿De dónde sacó esta idea? ¿De la experiencia práctica de utilizar modelos meteorológicos simplificados en el ordenador, o le vino la idea del hecho de que el problema gravitatorio de los tres cuerpos no era periódico? En su libro semibiográfico, La esencia del caos, Lorenz escribió que, a pesar de haber trabajado con Birkhoff, no conocía los trabajos de Poincaré. Así que tenemos que suponer que fue una hipótesis que se formó a partir de su experiencia en el manejo de los modelos meteorológicos.

En cualquier caso, Lorenz tenía razón y los expertos en meteorología estaban equivocados. Lorenz siguió simplificando y simplificando hasta que ideó un modelo matemático del movimiento de los fluidos basado en solo tres ecuaciones para tres variables, convencionalmente etiquetadas como X, Y y Z. En realidad, se trata de un conjunto de ecuaciones más sencillo que el del problema gravitatorio n = 3, ya que cada planeta del problema gravitatorio necesitaba seis variables para representarlo: tres posiciones de coordenadas espaciales y tres componentes de la velocidad.

El modelo de Lorenz está tan idealizado que ya no tiene mucho sentido relacionar estas tres variables con cantidades concretas (aunque es posible fabricar una noria caótica cuyo movimiento se describa mediante las ecuaciones de Lorenz).10 Así pues, pensemos en X, Y y Z como variables abstractas cuyos valores cambian con el tiempo. En un instante de tiempo determinado, estas variables pueden describirse mediante tres números, por ejemplo, X = 3,327, Y = 5,674, Z = 0,485. Las ecuaciones de Lorenz describen la evolución de estos números en el tiempo. Las ecuaciones utilizan la técnica matemática llamada cálculo, descubierta por Newton y de forma independiente por el matemático, filósofo e ingeniero alemán Gottfried Leibniz. El cálculo permite describir la tasa de variación temporal de X, Y y Z en función de los valores actuales de X, Y y Z y de diversos parámetros fijos. Las ecuaciones de Lorenz habrían sido bastante comprensibles y reconocibles para Newton o Leibniz como tres de las llamadas ecuaciones diferenciales no lineales.

Las palabras «no lineal» tienen aquí una importancia crucial. Los sistemas no lineales son aquellos cuyas salidas no cambian en proporción directa a sus entradas. Suponiendo que no seas una persona especialmente rica, seguro que te alegrarías mucho si te tocara un millón de dólares en la lotería. Estarías aún más feliz si te tocaran 2 millones, pero probablemente no fueras el doble de feliz. Tampoco creo que fueras diez veces más feliz si ganaras 10 millones de dólares (sustituye los millones por miles de millones si eres muy rico). Es un ejemplo de no linealidad: la felicidad (resultado) no varía en proporción directa a las ganancias de lotería (aporte). En el caso del sistema de Lorenz, si se duplica el tamaño de las variables X, Y y Z, la tasa de cambio temporal de las variables X, Y y Z no se duplica. Tú, querido lector, eres un sistema no lineal, al igual que las ecuaciones de Lorenz. El sistema de Lorenz sería predecible si las ecuaciones que lo rigen fueran lineales.

Resolver estas ecuaciones en un ordenador de principios de los años sesenta era una ardua tarea. Sin embargo, con solo tres variables, Lorenz pudo ejecutar las ecuaciones durante periodos de tiempo lo suficientemente largos como para darse cuenta de que el estado del modelo nunca se iba a repetir.

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